Question

【题目】设函数f（x）=|x﹣2|+|x+a|（a∈R）．
（1）若a=1时，求不等式f（x）≥4的解集；
（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），求a的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：a=1时，f（x）≥4可化为|x﹣2|+|x+1|≥4．

x＜﹣1时，2﹣x﹣x﹣1≥4，∴x≤﹣ ；

﹣1≤x≤2时，2﹣x+x+1≥4，无解；

x＞2时，x﹣2+x+1≥4，∴x≥ ．

综上所述，不等式的解集为{x|x≤﹣ 或x≥ }

（2）解：∵不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），

∴|x﹣2|+|x+a|=2x的一个根是1，

∴a=0或﹣2．

a=0时，由|x﹣2|+|x|≤2x，解得x≥1，合题意；

a=﹣2时，由2|x﹣2|≤2x，解得x≥1，合题意；

综上所述，a=0或﹣2

【解析】（1）a=1时，f（x）≥4可化为|x﹣2|+|x+1|≥4．去掉绝对值符号解不等式，即可求不等式f（x）≥4的解集；（2）若不等式f（x）≤2x的解集为[1，+∞），则|x﹣2|+|x+a|=2x的一个根是1，求出a，再进行验证，即可求a的值．
【考点精析】通过灵活运用绝对值不等式的解法，掌握含绝对值不等式的解法：定义法、平方法、同解变形法，其同解定理有；规律：关键是去掉绝对值的符号即可以解答此题．