题目内容
【题目】已知向量,
,
,其中0<α<x<π.
(1)若α=,求函数
的最小值及相应x的值;
(2)若与
的夹角为
,且
,求tan 2α的值.
【答案】(1) 最小值为,相应
的值为
; (2)
.
【解析】
(1)根据向量点乘表示出函数f(x)的解析式后令t=sinx+cosx转化为二次函数解题.
(2)根据与
的夹角为
,确定
,再由
可知向量
整理可得sin(x+α)+2sin2α=0,再将
代入即可得到答案.
(1)∵b=(cos x,sin x),
c=(sin x+2sin α,cos x+2cos α),α=,
∴f(x)=b·c
=cos xsin x+2cos xsin α+sin xcos x+2sin xcos α
=2sin xcos x+ (sin x+cos x).
令t=sin x+cos x,
则2sin xcos x=t2-1,且-1<t<.
则y=t2+t-1=
2-
,-1<t<
,
∴当t=-时,ymin=-
,此时sin x+cos x=-
,
即sin
=-
,
∵<x<π,∴
<x+
<
,
∴x+=
,∴x=
.
∴函数f(x)的最小值为-,相应x的值为
.
(2)∵a与b的夹角为,
∴cos=
=cos αcos x+sin αsin x=cos(x-α).
∵0<α<x<π,∴0<x-α<π,∴x-α=.
∵a⊥c,∴cos α(sin x+2sin α)+sin α(cos x+2cos α)=0,
∴sin(x+α)+2sin 2α=0,即sin+2sin 2α=0.
∴sin 2α+
cos 2α=0,∴tan 2α=-
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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