Question

【题目】设椭圆C： =1的离心率e= ，动点P在椭圆C上，点P到椭圆C的两个焦点的距离之和是4．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C1的方程为 =1（m＞n＞0），椭圆C2的方程为 =λ（λ＞0，且λ≠1），则称椭圆C2是椭圆C1的λ倍相似椭圆．已知椭圆C2是椭圆C的3倍相似椭圆．若过椭圆C上动点P的切线l交椭圆C2于A，B两点，O为坐标原点，试证明当切线l变化时|PA|=|PB|并研究△OAB面积的变化情况．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）依题意，e= = ，
由椭圆的定义可得2a=4，即a=2，
即有c=1，b2=a2﹣c2=3，
则椭圆C方程为： =1；
（Ⅱ）椭圆C的3倍相似椭圆C2的方程为： =3；
①若切线l垂直于x轴，则其方程为：x=±2，解得y=± ，
显然|PA|=|PB|，|AB|=2 ，△OAB面积为 ×2×2 =2 ；
②若切线l不垂直于x轴，可设其方程为：y=kx+m．
将y=kx+m代人椭圆C方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，
△=（8km）2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）=48（4k2+3﹣m2）=0，
即m2=4k2+3，
设A，B两点的坐标分别是（x1 ， y1），（x2 ， y2），
将y=kx+m代入椭圆C2的方程，得：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣36=0，
此时x1+x2=﹣ ，x1x2= ，
则AB的中点为（﹣ ， ），即为（﹣ ， ），
代入椭圆C的方程，可得 + = = =1，
满足椭圆方程，则|PA|=|PB|成立；
即有|AB|= |x1﹣x2|=
=
= = ．
又点O到直线l的距离d= ，
可得S△OAB= |AB|d=2 ，
综上，当切线l变化时，△OAB的面积为定值2
【解析】（Ⅰ）由椭圆的定义可得a=2，再由离心率公式和a，b，c的关系，即可得到b，进而得到椭圆方程；（Ⅱ）依题意，求得椭圆C2方程，讨论直线的斜率不存在，得到|PA|=|PB|和面积为定值；当切线l的斜率存在时，设l的方程为：y=kx+m，代入椭圆C2方程，运用韦达定理和中点坐标公式，可得|PA|=|PB|，由弦长公式，和点到直线的距离公式，结合面积公式，计算即可得到面积为定值．