题目内容

8.求证:以抛物线y2=2px(p>0)上的任意不同的四点为顶点的四边形不可能是平行四边形.

分析 假设抛物线上任意不同的四点为顶点的四边形ABCD是平行四边形.设抛物线上的四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),运用点满足方程和直线的斜率公式,可得AB,BC,CD,DA的斜率,再由平行线可得斜率相等,进而得到A,C,重合,B,D重合,得到矛盾,即可得证.

解答 证明:假设抛物线上任意不同的四点为顶点的四边形ABCD是平行四边形.
设抛物线上的四个点为A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4),
即有yi2=2pxi,即xi=$\frac{{{y}_{i}}^{2}}{2p}$(i=1,2,3,4),
于是kAB=$\frac{{y}_{2}-{y}_{1}}{{x}_{2}-{x}_{1}}$=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{2}}$,
同理可得kBC=$\frac{2p}{{y}_{2}+{y}_{3}}$,kCD=$\frac{2p}{{y}_{3}+{y}_{4}}$,kAD=$\frac{2p}{{y}_{1}+{y}_{4}}$,
由假设可得kAB=kCD,kBC=kAD,从而y1=y3,y2=y4
进而可得x1=x3,x2=x4,于是A,C重合,B,D重合,
这与A,B,C,D为抛物线上不同的四个点矛盾,所以假设不成立.
故抛物线y2=2px(p>0)上的任意不同的四点为顶点的四边形不可能是平行四边形

点评 本题考查抛物线的方程的运用,考查反证法的运用,以及推理能力,属于中档题.

练习册系列答案
相关题目

违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com

精英家教网