题目内容

19.已知函数f(x)=a-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$是奇函数(a∈R).
(1)求实数a的值;
(2)求函数y=f(x)的值域;
(3)试判断函数f(x)在(-∞,+∞)上的单调性,并用定义证明你的结论.

分析 (1)利用f(x)是奇函数,f(-x)=-f(x),即可求实数a的值;
(2)f(x)=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,即可求函数y=f(x)的值域;
(3)利用单调性定义证明结论.

解答 解:(1)由题意可得:f(x)=$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$
∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x)
即$\frac{a•{2}^{-x}+a-2}{{2}^{-x}+1}$=-$\frac{a•{2}^{x}+a-2}{{2}^{x}+1}$
∴a-2=-a,即a=1
即f(x)=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$;                             (3分)
(2)f(x)=1-$\frac{2}{{2}^{x}+1}$,${2^x}+1>1∴\frac{2}{{{2^x}+1}}∈({0,2})$,∴f(x)∈(-1,1)(6分)
(3)设x1,x2为区间(-∞,+∞)内的任意两个值,且x1<x2
则0<${2}^{{x}_{1}}$<${2}^{{x}_{2}}$,${2}^{{x}_{1}}$-${2}^{{x}_{2}}$<0,
∵f(x1)-f(x2)=$\frac{2({2}^{{x}_{1}}-{2}^{{x}_{2}})}{({2}^{{x}_{1}}+1)({2}^{{x}_{2}}+1)}$<0
即f(x1)<f(x2),
∴f(x)是(-∞,+∞)上的增函数.(12分)

点评 本题考查了函数的奇偶性、单调性、指数函数的运算,考查了计算能力,属于中档题.

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