Question

【题目】如图，在三棱锥中， ,平面 平面， 、分别为、的中点．

(1)求证： 平面；

(2)求证： ；

(3)求三棱锥的体积．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3) .

【解析】试题分析：

(1)由三角形中位线的性质可得DE∥BC，结合线面平行的判断定理可得DE∥平面PBC.

(2)连接PD，由等腰三角形三线合一可知PD⊥AB.且DE⊥AB.利用线面垂直的判断定理有AB⊥平面PDE，故AB⊥PE.

(3)转换顶点，将三棱锥看作以点P为顶点的三棱锥，计算可得，且PD是三棱锥P－BEC的高，计算可得由三棱锥体积公式可得其体积.

试题解析：

(1)证明：∵在△ABC中，D、E分别为AB、AC的中点，∴DE∥BC.

∵DE平面PBC且BC平面PBC，∴DE∥平面PBC.

(2)证明：连接PD.∵PA＝PB，D为AB的中点，∴PD⊥AB.

∵DE∥BC，BC⊥AB，∴DE⊥AB.又∵PD、DE是平面PDE内的相交直线，

∴AB⊥平面PDE.

∵PE平面PDE，∴AB⊥PE.

(3)解：∵PD⊥AB，平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，

∴PD⊥平面ABC，可得PD是三棱锥P－BEC的高．

又∵， .