题目内容
【题目】若函数,
.
(Ⅰ)求的单调区间和极值;
(Ⅱ)证明:若存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
【答案】(Ⅰ)的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
在
处取得极小值
;(Ⅱ)证明见解析.
【解析】
试题分析:(Ⅰ)求单调区间和极值,先求定义域,再求导数,在
上,
的解为
,探讨
在
和
上的正负,确定
的单调性,极值;(Ⅱ)首先由零点存在,知最小值
,从而
,因此
在
是单调递减,且
,因此结论易证.
试题解析:(Ⅰ)由,
得
.
由解得
.
与
在区间
上的情况如下:
所以,的单调递减区间是
,单调递增区间是
;
在
处取得极小值
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,在区间
上的最小值为
.
因为存在零点,所以
,从而
.
当时,
在区间
上单调递减,且
,
所以是
在区间
上的唯一零点.
当时,
在区间
上单调递减,且
,
,
所以在区间
上仅有一个零点.
综上可知,若存在零点,则
在区间
上仅有一个零点.
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