题目内容
【题目】已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在
轴上,短轴长为
,且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点,过右焦点
与
轴不垂直的直线交椭圆于
,
两点.
(Ⅰ)求椭圆的方程.
(Ⅱ)当直线的斜率为
时,求
的面积.
(Ⅲ)在线段上是否存在点
,使得经
,
为领边的平行四边形是菱形?若存在,求出
的取值范围;若不存在,请说明理由.
【答案】(Ⅰ) ;(Ⅱ)
;(Ⅲ)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)由短轴长为得
,由两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点得
,由此求出
,即可求出椭圆方程;(2)先写出直线
的方程,将直线方程与椭圆方程联立,求出
的坐标,从而求出
,由点到直线的距离公式求出点
到到直线的距离即可求三角形的面积;(3) 设在线段
上存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形,设出直线方程
,与椭圆方程联立,由韦达定理计算
,即可求出
的取值范围.
试题解析:(1)设椭圆方程为,
根据题意得所以
,
所以椭圆方程为;
(2)根据题意得直线方程为,
解方程组得
坐标为
, 计算
,
点到直线
的距离为
, 所以,
;
(3)假设在线段上存在点
,使得以
为邻边的平行四边形是菱形.因为直线与
轴不垂直,所以设直线
的方程为
.
坐标为
,
由得,
,
,
计算得:,其中
,
由于以为邻边的平行四边形是菱形,所以
,
计算得, 即
,
, 所以
.
(可以设点,也可以设直线得到和
的函数关系式)
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】2018年1月8日,中共中央国务院隆重举行国家科学技术奖励大会,在科技界引发热烈反响,自主创新正成为引领经济社会发展的强劲动力.某科研单位在研发新产品的过程中发现了一种新材料,由大数据测得该产品的性能指标值y与这种新材料的含量x(单位:克)的关系为:当时,y是x的二次函数;当
时,
测得数据如下表(部分):
x(单位:克) | 0 | 1 | 2 | 9 | … |
y | 0 | 3 | … |
(1)求y关于x的函数关系式;
(2)当该产品中的新材料含量x为何值时,产品的性能指标值最大.