题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
是菱形,且
,点
是棱
的中点,平面
与棱
交于点
.
(1)求证: ;
(2)若,且平面
平面
,求平面
与平面
所成的锐二面角的余弦值.
【答案】(1)见解析(2).
【解析】试题分析:(1)推导出,从而
平面
,由此能证明
.
(2)取中点
,连接
,
,以
为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,利用向量法能求出平面
与平面
所成的二面角的余弦值.
试题解析:(1)证明:∵是菱形,∴
,
又平面
,
平面
,
∴平面
,
∵四点共面,且面
面
,
∴.
(2)解:取中点
,连接
,
,
∵,∴
,
∵平面平面
,平面
平面
,
∴面
,
∴,在菱形
中,∵
,
,
是
中点,
∴,
如图,以为原点,
、
、
所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系
,
由得,
,
,
,
,
,
.
又∵,点
是棱
中点,∴点
是棱
中点,
∴,
,
,
设平面的法向量为
,
则有,
,取
,则
.
∵平面
,∴
是平面
的一个法向量,
,二面角
的余弦值为
,
∴平面与平面
所成的二面角的余弦值为
.
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