题目内容
【题目】（本小题满分12分）
如图，在四棱锥P—ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，侧棱PA＝PD=
,底面ABCD为直角梯形，其中BC∥AD,AB⊥AD,AD=2AB=2BC=2，O为AD中点.
(Ⅰ)求证:PO⊥平面ABCD；
(Ⅱ)求异面直线PB与CD所成角的余弦值；
(Ⅲ)求点A到平面PCD的距离.
【答案】(1)同解析（2）异面直线PB与CD所成的角的余弦值为
.（3）点A到平面PCD的距离d＝
【解析】解法一：
（Ⅰ）证明：在△PAD卡中PA＝PD，O为AD中点，所以PO⊥AD.
又侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，PO
平面PAD，
所以PO⊥平面ABCD.
（Ⅱ）连结BO，在直角梯形ABCD中，BC∥AD,AD=2AB=2BC，
有OD∥BC且OD＝BC，所以四边形OBCD是平行四边形，
所以OB∥DC.
由（Ⅰ）知PO⊥OB，∠PBO为锐角，
所以∠PBO是异面直线PB与CD所成的角.
因为AD＝2AB＝2BC＝2，在Rt△AOB中，AB＝1，AO＝1，所以OB＝
，
在Rt△POA中，因为AP＝，AO＝1，所以OP＝1，
在Rt△PBO中，PB＝
,
cos∠PBO=
,
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为.
(Ⅲ)
由（Ⅱ）得CD＝OB＝，
在Rt△POC中，PC＝
，
所以PC＝CD＝DP，S△PCD=
·2=
.
又S△=
设点A到平面PCD的距离h，
由VP-ACD=VA-PCD，
得
S△ACD·OP＝S△PCD·h，
即×1×1＝××h，
解得h＝
.
解法二：
（Ⅰ）同解法一，
（Ⅱ）以O为坐标原点，
的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系O-xyz.
则A（0，-1，0），B（1，-1，0），C（1，0，0），
D（0，1，0），P（0，0，1）.
所以
＝（-1，1，0），
＝（t，-1，-1），
∞〈、〉=
，
所以异面直线PB与CD所成的角的余弦值为，
（Ⅲ）设平面PCD的法向量为n＝（x0,y0,x0），
由（Ⅱ）知
=（-1，0，1），＝（-1，1，0），
则n·＝0，所以 -x0+ x0=0,
n·＝0， -x0+ y0=0，
即x0=y0=x0,
取x0=1，得平面的一个法向量为n=(1,1,1).
又
=(1,1,0).
从而点A到平面PCD的距离d＝
