题目内容

【题目】如图,在四棱锥P﹣ABCD中,AD∥BC,∠ADC=∠PAB=90°,BC=CD= AD.E为棱AD的中点,异面直线PA与CD所成的角为90°.
(1)在平面PAB内找一点M,使得直线CM∥平面PBE,并说明理由;
(2)若二面角P﹣CD﹣A的大小为45°,求直线PA与平面PCE所成角的正弦值.

【答案】
(1)

解:延长AB交直线CD于点M,∵点E为AD的中点,∴AE=ED= AD,

∵BC=CD= AD,∴ED=BC,

∵AD∥BC,即ED∥BC.∴四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD.

∵AB∩CD=M,∴M∈CD,∴CM∥BE,

∵BE平面PBE,∴CM∥平面PBE,

∵M∈AB,AB平面PAB,

∴M∈平面PAB,故在平面PAB内可以找到一点M(M=AB∩CD),使得直线CM∥平面PBE


(2)

解:如图所示,

∵∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°,AB∩CD=M,

∴AP⊥平面ABCD.

∴CD⊥PD,PA⊥AD.

因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°.

∴PA=AD.

不妨设AD=2,则BC=CD= AD=1.∴P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),

=(﹣1,1,0), =(0,1,﹣2), =(0,0,2),

设平面PCE的法向量为 =(x,y,z),则 ,可得:

令y=2,则x=2,z=1,∴ =(2,2,1).

设直线PA与平面PCE所成角为θ,则sinθ= = = =


【解析】(1)延长AB交直线CD于点M,由点E为AD的中点,可得AE=ED= AD,由BC=CD= AD,可得ED=BC,已知ED∥BC.可得四边形BCDE为平行四边形,即EB∥CD.利用线面平行的判定定理证明得直线CM∥平面PBE即可.
(2)如图所示,由∠ADC=∠PAB=90°,异面直线PA与CD所成的角为90°AB∩CD=M,可得AP⊥平面ABCD.由CD⊥PD,PA⊥AD.因此∠PDA是二面角P﹣CD﹣A的平面角,大小为45°.PA=AD.不妨设AD=2,则BC=CD= AD=1.可得P(0,0,2),E(0,1,0),C(﹣1,2,0),利用法向量的性质、向量夹角公式、线面角计算公式即可得出.
本题考查了空间位置关系、空间角计算公式、法向量的性质,考查了空间想象能力、推理能力与计算能力,属于中档题.
【考点精析】认真审题,首先需要了解直线与平面平行的判定(平面外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行;简记为:线线平行,则线面平行),还要掌握空间角的异面直线所成的角(已知为两异面直线,A,C与B,D分别是上的任意两点,所成的角为,则)的相关知识才是答题的关键.

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