题目内容
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设,阴影部分为一公共设施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线f(x)=1-ax2(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N,交曲线于点P,设P(t,f(t)).
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
(2)若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
(1)将△OMN(O为坐标原点)的面积S表示成t的函数S(t);
(2)若在t=处,S(t)取得最小值,求此时a的值及S(t)的最小值.
(1)S(t)=(2)a=,
(1)y′=-2ax,∴切线斜率是-2at,
∴切线方程为y-(1-at2)=-2at(x-t).
令y=0,得x=,∴M,令x=0,得y=1+at2,∴N(0,1+at2),
∴△OMN的面积S(t)=.
(2)S′(t)=,
由a>0,t>0,S′(t)=0,得3at2-1=0,即t=.
当3at2-1>0,即t>时,S′(t)>0;
当3at2-1<0,即0<t<时,S′(t)<0.
∴当t=时,S(t)有最小值.
已知在t=处,S(t)取得最小值,故有=,
∴a=.故当a=,t=时,S(t)min=S==.
∴切线方程为y-(1-at2)=-2at(x-t).
令y=0,得x=,∴M,令x=0,得y=1+at2,∴N(0,1+at2),
∴△OMN的面积S(t)=.
(2)S′(t)=,
由a>0,t>0,S′(t)=0,得3at2-1=0,即t=.
当3at2-1>0,即t>时,S′(t)>0;
当3at2-1<0,即0<t<时,S′(t)<0.
∴当t=时,S(t)有最小值.
已知在t=处,S(t)取得最小值,故有=,
∴a=.故当a=,t=时,S(t)min=S==.
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