题目内容
已知函数f(x)=(x-a)2(x-b)(a,b∈R,a<b).
(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.
(1)当a=1,b=2时,求曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程;
(2)设x1,x2是f(x)的两个极值点,x3是f(x)的一个零点,且x3≠x1,x3≠x2.证明:存在实数x4,使得x1,x2,x3,x4按某种顺序排列后构成等差数列,并求x4.
(1)y=x-2 (2),证明见解析
(1)解:当a=1,b=2时,f(x)=(x-1)2(x-2),
f′(x)= (x-1)(3x-5),
故f′(2)=1.
又f(2)=0,
所以f(x)在点(2,0)处的切线方程为y=x-2.
(2)证明:由题意得f′(x)=3(x-a)(x-),
由于a<b且a,b∈R,故a<,
所以f(x)的两个极值点为x=a,x=.
不妨设x1=a,x2=,
因为x3≠x1,x3≠x2,
且x3是f(x)的零点,
故x3=b.
又因为-a=2(b-),
x4=(a+)=,
此时a,,,b依次成等差数列,
所以存在实数x4满足题意,且x4=.
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