题目内容
【题目】如图,四棱锥的底面
是平行四边形,侧面
是边长为2的正三角形,
,
.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)设是棱
上的点,当
平面
时,求二面角
的余弦值.
【答案】(Ⅰ)见解析; (Ⅱ).
【解析】试题分析:
(1)由题意可证得平面
,利用面面垂直的判断定理即可证得平面
平面
.
(2)建立空间直角坐标系,结合平面的法向量和题意可得二面角的余弦值是
.
试题解析:
(1)取中点
,连接
,
,因为
是边长为2的正三角形,所以
,
,
∵,∴
,
,
∴,
∴,∴
平面
,
∵平面
,∴平面
平面
.
(2)连接交
于
,连接
,
∵平面
,∴
,
又为
的中点,∴
为
的中点.
以为原点,分别以
、
、
所在直线为
、
、
轴建立空间直角坐标系,
则,
,
,
,
,
.
设平面的一个法向量为
,
由得
取
,得
.
由图可知,平面的一个法向量
,
∴,
∴二面角的余弦值为
.
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