题目内容
【题目】已知函数,
,其中a∈R.
(Ⅰ)当a=1时,判断f(x)的单调性;
(Ⅱ)若g(x)在其定义域内为增函数,求正实数a的取值范围
【答案】(1)在(
)上单调递增;(2)
.
【解析】试题分析:(Ⅰ)求函数导数并确定导函数符号:,即得函数在定义域上单调递增(Ⅱ)g(x)在其定义域内为增函数,等价于g′(x)≥0恒成立,再利用变量分离法将其转化为对应函数最值:
的最大值,最后利用基本不等式求
最大值
得正实数a的取值范围
试题解析:(1)由得定义域为(0,+∞),
,
当a=1时,, f(x)在(0,+∞)上单调递增.………5分
(2)由已知得,
因为g(x)在其定义域内为增函数,所以x∈(0,+∞),
g′(x)≥0,即ax2-5x+a≥0,即
而,当且仅当x=1时,等号成立,
所以a≥.
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