题目内容
【题目】已知函数.
(1)若,求
的单调区间;
(2)若关于的不等式
对一切
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)求证:对,都有
.
【答案】(1) 单调增区间为,单调减区间为
.(2)
;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:
(1)求解导函数有.结合函数的定义域和导函数与原函数之间的关系可得
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2)二次求导可得.分类讨论:
①当时,
对一切
恒成立.
②当时,
,
对一切
不恒成立.
③当时,
对一切
不恒成立.
综上可得实数的取值范围是
.
(3)结合(2)的结论,取,有
时,
.则
.结合对数的运算法则即可证得题中的不等式.
试题解析:
(1)当时,函数
,
定义域为,
.
令可得
,令
可得
.
所以的单调增区间为
,单调减区间为
.
(2),
.
①当时,
,
.
故在区间
上递增,
所以,从而
在区间
上递增.
所以对一切
恒成立.
②当时,
,
.
当时,
,
当时,
.
所以时,
.
而,故
.
所以当时,
,
递减,
由,知
,此时
对一切
不恒成立.
③当时,
,
在区间
上递减,有
,
从而在区间
上递减,有
.
此时对一切
不恒成立.
综上,实数的取值范围是
.
(3)由(2)可知,取,当
时,有
.
取,有
,即
.
所以
,
所以.
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