题目内容
【题目】如图,在直三棱柱ABC A1B1C1中,AC=4,CB=2,AA1=2,∠ACB=60°,E、F分别是A1C1,BC的中点.
(1)证明:平面AEB⊥平面BB1C1C;
(2)证明:C1F∥平面ABE;
(3)设P是BE的中点,求三棱锥P B1C1F的体积.
【答案】(1) (2)见解析 (3)
【解析】
(1)证明 在△ABC中,∵AC=2BC=4,∠ACB=60°,由余弦定理得:
∴AB=2,∴AB2+BC2=AC2,
∴AB⊥BC,
由已知AB⊥BB1,又BB1∩BC=B,∴AB⊥面BB1C1C,
又∵AB面ABE,∴平面ABE⊥平面BB1C1C.
(2)证明 取AC的中点M,连接C1M,FM
在△ABC,FM∥AB,而FM平面ABE,AB平面ABE,
∴直线FM∥平面ABE
在矩形ACC1A1中,E,M都是中点,∴C1E綉AM,四边形AMC1B是平面四边形,∴C1M∥AE
而C1M平面ABE,AE平面ABE,∴直线C1M∥ABE
又∵C1M∩FM=M,∴平面ABE∥平面FMC1,而CF1平面FMC1,
故C1F∥平面AEB.
(3)解 取B1C1的中点H,连接EH,则EH∥A1B1,所以EH∥AB且EH=AB=
,
由(1)得AB⊥面BB1C1C,∴EH⊥面BB1C1C,
∵P是BE的中点,
∴VPB1C1F=VEB1C1F=
×
S△B1C1F·EH=
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目