题目内容
【题目】给定椭圆
，称圆
为椭圆
的“伴随圆”.已知点
是椭圆
上的点
（1）若过点
的直线
与椭圆
有且只有一个公共点，求
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长：
（2）
是椭圆
上的两点，设
是直线
的斜率，且满足
，试问：直线
是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由。
【答案】(1) 
(2)过原点
【解析】试题分析：（1）分析直线的斜率是否存在，若不存在不符合题意，当存在时设直线
，根据直线与圆的关系中弦心距，半径，半弦长构成的直角三角形求解即可；（2）设直线
的方程分别为
，设点
，联立
得得
同理
，计算
，同理
因为
，可得
，从而可证.
试题解析：
（1）因为点
是椭圆
上的点.
即椭圆
伴随圆
得
同理
，计算
当直线
的斜率不存在时：显然不满足
与椭圆
有且只有一个公共点
当直接
的斜率存在时：设直线
与椭圆
联立得
由直线
与椭圆
有且只有一个公共点得
解得
，由对称性取直线
即
圆心到直线
的距离为
直线
被椭圆
的伴随圆
所截得的弦长
（2）设直线
的方程分别为
设点
联立
得
则
得
同理
斜率
同理
因为
所以
三点共线
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学而优衔接教材南京大学出版社系列答案
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