题目内容

【题目】已知是双曲线的两个顶点,点是双曲线上异于的一点,为坐标原点,射线交椭圆于点,设直线的斜率分别为.

1)若双曲线的渐近线方程是,且过点,求的方程;

2)在(1)的条件下,如果,求的面积;

3)试问:是否为定值?如果是,请求出此定值;如果不是,请说明理由.

【答案】1;(2的面积为;(3)定值为.

【解析】

1)设双曲线的方程为,将点的坐标代入双曲线的方程,求出的值,可求出双曲线的方程;

2)设点的坐标为,设直线的方程为,则,由点在双曲线上得出,可得出,利用斜率公式以及条件可求出射线的方程,由此可得出点的纵坐标,由此计算出的面积;

3)由题意得出,设点,则,利用斜率公式得出,由此可得出的值.

1)由于双曲线的渐近线方程为,可设双曲线的方程为

将点的坐标代入双曲线的方程得

因此,双曲线的方程为

2)设射线所在直线的方程为,设点,则

因为点在双曲线上,所以,可得.

.

所以,射线所在直线的方程为.

联立直线的方程与椭圆的方程,解得

所以,点的纵坐标为,因此,的面积为

3)设点

由于点在双曲线上,则,得

同理可得,因此,.

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