题目内容
【题目】如图,一个正和一个平行四边形ABDE在同一个平面内,其中
,
,AB,DE的中点分别为F,G.现沿直线AB将
翻折成
,使二面角
为
,设CE中点为H.
(1)(i)求证:平面平面AGH;
(ii)求异面直线AB与CE所成角的正切值;
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1) (i)证明见解析;(ii) (2)
【解析】
(1)(i)通过证明四边形为平行四边形证得
;通过三角形中位线证得
,由此证得平面
平面AGH.
(ii)根据和
判断
是两个异面直线
与
所成角.用勾股定理求得
,利用余弦定理求得
,由此求得异面直线
与
所成角的正切值.
(2)根据二面角的定义,判断出即为二面角
的平面角,利用余弦定理求得二面角的余弦值.
(1)(i)证明:连FD.因为ABDE为平行四边形,F、G分别为AB、DE中点,
所以FDGA为平行四边形,所以.-
又H、G分别为CE、DE的中点,所以.
FD、平面AGH,AG、
平面AGH,所以
平面AGH,
平面AGH,而FD、
平面CDF,所以平面
平面AGH.
(ii)因为,所以
或其补角即为异面直线AB与CE所成的角.
因为ABC为正三角形,,F为AB中点,所以
,
,从而
平面CFD,而
,所以
平面CFD,因为
平面CFD,所以
.-
由条件易得,
,又
为二面角
的平面角,所以
,所以
,所以
.
(2)由(1)的(ii)知平面CFD,即
,
,所以
即为二面角
的平面角.
.
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