题目内容
【题目】设A是同时符合以下性质的函数f(x)组成的集合:
①x∈[0,+∞),都有f(x)∈(1,4];②f(x)在[0,+∞)上是减函数.
(1)判断函数f1(x)=2-和f2(x)=1+3·
(x≥0)是否属于集合A,并简要说明理由;
(2)把(1)中你认为是集合A中的一个函数记为g(x),若不等式g(x)+g(x+2)≤k对任意的x≥0总成立,求实数k的取值范围.
【答案】(1)答案见解析;(2) .
【解析】试题分析:
(1)由函数的解析式可得函数的满足
,则该函数不在集合A中,考查函数
的性质可得函数
在集合A中;
(2)结合(1)的结论可得,结合函数的解析式可得实数
的取值范围是
.
试题解析:
(1)f1(x)=2-不在集合中,f2(x)=1+3·
x在集合A中,
理由:f1(x)=2-,∵
≥0,
∴2-≤2,
∴f1(x)不在集合A中.
又∵x≥0时,0<x≤1,
∴1<1+3·x≤4,
即f2(x)∈(1,4],
又函数y=x在[0,+∞)是减函数,
∴f2(x)=1+3·x在[0,+∞)也是减函数.
(2)由(1)知g(x)=1+3·x,
故F(x)=g(x)+g(x+2)=1+3·x+1+3·
x+2=2+
·
x.
因为当x≥0时,0<x≤1,
∴2<2+·
x≤
,
∴k≥.
故k的取值范围为.
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