Question

7．已知直线l过点（1，0），且与直线x-y+1=0垂直，若直线l与圆C：x²+y²+2y-3=0相交于A、B两点，则△ABC的面积为（　　）

• A． 1
• B． $\sqrt{2}$
• C． 2
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 先求出直线l的方程，再求出圆心C与半径r，计算圆心到直线l的距离d，求出弦长|AB|，再计算△ABC的面积．

解答 解：∵直线l过点（1，0），且与直线x-y+1=0垂直，
设直线l的方程为x+y+m=0，
∴1+0+m=0，
解得m=-1，
∴直线l的方程为x+y-1=0；
又圆C：x²+y²+2y-3=0，
化为标准方程是x²+（y+1）²=4，
∴圆心C（0，-1），半径r=2，
且圆心C到直线l的距离为：
d=$\frac{|0-1-1|}{\sqrt{{1}^{2}{+1}^{2}}}$=$\sqrt{2}$，
∴弦长|AB|=2$\sqrt{{r}^{2}{-d}^{2}}$=2$\sqrt{{2}^{2}{-（\sqrt{2}）}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴△ABC的面积为S_△ABC=$\frac{1}{2}$|AB|d=$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{2}$×$\sqrt{2}$=2．
故选：C．

点评 本题考查了直线与圆的方程的应用问题，考查了两条直线垂直以及直线与圆相交所得弦长的计算问题，是基础题目．