题目内容
已知函数.
(1)求证:时,恒成立;
(2)当时,求的单调区间.
(1)求证:时,恒成立;
(2)当时,求的单调区间.
(1)详见试题解析;(2)时,的单调递增区间为,单调递减区间为;时,的单调递增区间为,单调递减区间为和;时,的单调递减区间为,无单调增区间.
试题分析:(1)当时,,根据求函数极值的一般步骤,先求函数的定义域,再求导数,解的方程,得可能的极值点,进一步得函数的单调性,最后得的最小值,从而证得恒成立;(2)当时,先求的导数:,根据表达式的结构特征,分子为,故只需分,,几种情况,分别求函数的单调区间.
试题解析:(1)当时,,,,令,解得:.当时,,在上单调递减; 当时,,在上单调递增,∴.
所以,, . 5分
(2)的定义域为,.
①当时,,此时在区间上单调递增,在上单调递减;
②当时,.令,解得:.
ⅰ)当时,,令,解得:.令,解得:或,此时在区间上单调递增,在和上单调递减.
ⅱ)当时,,此时,在区间上单调递减.
综上,时,的单调递增区间为,单调递减区间为;时,的单调递增区间为,单调递减区间为和;时,的单调递减区间为,无单调增区间. 13分
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