Question

1．已知数列{a_n}满足na_n+1=（n+1）a_n+1，n∈N^*，a₁=a＞0．
（1）求a₂，a₃，a₄的值并猜出{a_n}的通项公式；
（2）求证，分别以a₂，a₃，a₄为边的三角形不可能是直角三角形．

Answer 1

分析 （1）n=1，2，3，分别代入，即可求a₂，a₃，a₄的值，从而猜出{a_n}的通项公式；
（2）利用反证法证明，即可得出结论．

解答 （1）解：∵na_n+1=（n+1）a_n+1，n∈N^*，a₁=a＞0，
∴令n=1得a₂=2a₁+1=2a+1   …（1分）
令n=2得2a₃=3a₂+1=3a+2   …（3分）
令n=3得3a₄=4a₃+1=4a+3    …（5分）
∴a_n=（a+1）n-1…（7分）
（2）证明：假设以a₂，a₃，a₄为边的三角形是直角三角形
∵a＞0，∴4a+3＞3a+2＞2a+1，∴4a+3为直角三角形的斜边     …（8分）
∴（4a+3）²=（2a+1）²+（3a+2）²    …（9分）
∴3a²+8a+4=0，∴a=-$\frac{2}{3}$或a=-2    …（10分）
以上二根均为负数，与已知a＞0矛盾 …（11分）
∴假设不成立，原命题成立    …（12分）

点评 本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．