题目内容

7.如图,PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,E、F分别是点A在PB、PC上的射影,给出下列结论:
①AF⊥PB;②EF⊥PB;③AF⊥BC;④AE⊥平面PBC;⑤平面PBC⊥平面PAC.其中正确命题的序号是①②③⑤.

分析 PA⊥圆O所在的平面,AB是圆O的直径,C是圆O上的一点⇒BC⊥平面PAC,继而可证BC⊥AF,AF⊥PC,从而易证AF⊥平面PBC,从而可对①②③④⑤作出判断.

解答 解:∵PA⊥圆O所在的平面α,BC?α,∴PA⊥BC,
AB是圆O的直径,C是圆O上的一点,∴BC⊥AC,
又PA∩AC=A,∴BC⊥平面PAC,AF?平面PAC,
∴BC⊥AF,又AF⊥PC,PC∩BC=C,
∴AF⊥平面PBC,PB?平面PBC,
∴AF⊥PB,即①正确;
又AE⊥PB,同理可证PB⊥平面AFE,EF?平面AFE,
∴EF⊥PB,即②正确;
由BC⊥平面PAC,AF?平面PAC知,BC⊥AF,即③正确;
∵AF⊥平面PBC(前边已证),AE∩AF=A,
∴AE不与平面PBC垂直,故④错误,
∵AF⊥平面PBC,且AF?平面PAC,
∴平面PAC⊥平面PBC,即⑤正确.
综上所述,正确结论的序号是①②③⑤.
故答案为:①②③⑤

点评 本题考查命题的真假判断与应用,着重考查线面垂直的判定与线面垂直的性质定理,考查推理与证明的能力,属于中档题.

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