题目内容
【题目】已知各项都是正数的数列
的前
项和为
，
，
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列
满足：
，
，数列
的前项和
，求证：
；
（3）若
对任意
恒成立，求
的取值范围.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）详见解析（Ⅲ）
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由和项求数列通项，注意分类讨论：当
，得
，当
时，
，得数列递推关系式，因式分解可得
，根据等差数列定义得数列通项公式（Ⅱ）因为
，所以利用叠加法求通项公式：
，因此
，从而利用裂项相消法求和得
，即证得
（Ⅲ）不等式恒成立问题，一般先变量分离，转化为求对应函数最值问题：由
得
，而
有最大值
，所以
试题解析：（1）
时，
是以
为首项，为公差的等差数列
…4分
（2）
， ，即…………………9分
（3）由得， 当且仅当
时，有最大值，
………………………………14分
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量
（吨）与相应的生产能耗
（吨标准煤）的几组对照数据：
| 3 | 4 | 5 | 6 |
| 2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
（1）已知产量
和能耗
呈线性关系，请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
；
（2）已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤，试根据（1）求出的线性回归方程，预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？
参考公式： 
