题目内容
【题目】已知各项都是正数的数列的前
项和为
,
,
(1)求数列的通项公式;
(2)设数列满足:
,
,数列
的前
项和
,求证:
;
(3)若对任意
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)详见解析(Ⅲ)
【解析】
试题分析:(Ⅰ)由和项求数列通项,注意分类讨论:当,得
,当
时,
,得数列递推关系式,因式分解可得
,根据等差数列定义得数列通项公式
(Ⅱ)因为
,所以利用叠加法求通项公式:
,因此
,从而利用裂项相消法求和得
,即证得
(Ⅲ)不等式恒成立问题,一般先变量分离,转化为求对应函数最值问题:由
得
,而
有最大值
,所以
试题解析:(1)时,
是以
为首项,
为公差的等差数列
…4分
(2)
,
,即
…………………9分
(3)由得
, 当且仅当
时,
有最大值
,
………………………………14分
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练习册系列答案
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【题目】下表提供了某厂节能降耗技术改造后生产甲产品过程记录的产量(吨)与相应的生产能耗
(吨标准煤)的几组对照数据:
3 | 4 | 5 | 6 | |
2.5 | 3 | 4 | 4.5 |
(1)已知产量和能耗
呈线性关系,请根据上表提供的数据,用最小二乘法求出
关于
的线性回归方程
;
(2)已知该厂技改前100吨甲产品的生产耗能为90吨标准煤,试根据(1)求出的线性回归方程,预测生产100吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤?
参考公式: