题目内容
【题目】已知函数(
).
(1)若函数有零点,求实数
的取值范围;
(2)若对任意的,都有
成立,求实数
的取值范围.
【答案】(1);(2)
.
【解析】试题分析:(1)题意等价于关于的方程
有正根,设
,根据二次函数的性质,对二次项系数进行讨论,分为
,
和
三种情形进行讨论;(2)原题意等价于
,分为
和
时,结合二次函数的性质求结果.
试题解析:(1)由函数有零点得:关于
的方程
(
)有解
令,则
于是有,关于
的方程
有正根
设,则函数
的图象恒过点
且对称轴为
当时,
的图象开口向下,故
恰有一正数解
当时,
,不合题意
当时,
的图象开口向上,故
有正数解的条件是
解得:
综上可知,实数的取值范围为
.
(2)“对任意都有
”即
,
②
∵,故②变形为:
③
又当时,恒有
,
故当时,
,故不等式③恒成立
当时,
,当且仅当
时取等号
∴,解得
,综上可知,实数
的取值范围
.
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