Question

【题目】如图，四边形CDEF是正方形，四边形ABCD为直角梯形，∠ADC＝90°，AB∥DC，平面CDEF⊥平面ABCD，AB＝ADCD＝a，M在FB上，且BD∥平面ECM．

（1）求证：M为BF中点；

（2）求证：平面BCF⊥平面EMC；

（3）求直线CD与平面ECM所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析（3）．

【解析】

（1）连结，，交于点，则是中点，连结，由平面，得，由此能证明为中点；

（2）以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明平面平面；

（3）求出，，，平面的法向量，1，，利用向量法能求出直线与平面所成角的正弦值．

（1）证明：连结DF，CE，交于点O，则O是DF中点，连结OM，

∴BD∥平面ECM，OM平面BDF，

∴BD∥OM，∴M为BF中点．

（2）证明：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DE为z轴，建立空间直角坐标系，

则B（a，a，0），C（0，2a，0），F（0，2a，2a），M（），E（0，0，2a），

（﹣a，a，0），（﹣a，a，2a），（，，﹣a），（0，2a，﹣2a），

设平面BCF的法向量（x，y，z），

则，取x＝1，得（1，1，0），

设平面EMC的法向量（x1，y1，z1），

则，取z1＝1，得（﹣1，1，1），

∵0，∴平面BCF⊥平面EMC．

（3）解：D（0，0，0），（0，﹣2a，0），平面EMC的法向量（﹣1，1，1），

设直线CD与平面ECM所成角为θ，

则直线CD与平面ECM所成角的正弦值为：

sinθ．