题目内容

【题目】设函数x

1)判断的奇偶性,并用定义证明;

2)若不等式上恒成立,试求实数a的取值范围;

3的值域为函数上的最大值为M,最小值为m,若成立,求正数a的取值范围.

【答案】1)奇函数;见解析(2;(3

【解析】

1)可看出是奇函数,根据奇函数的定义证明即可;

2)由题意可得出上恒成立,然后令,从而得出,只需,配方求出y的最小值,即可求解;

3)容易求出,从而得出时,,可讨论a:容易得出时,不符合题意;时,可知上是减函数,在上是增函数,从而可讨论,然后分别求出上的最小值和最大值,根据求出a的范围即可.

的定义域为

为奇函数;

若不等式上恒成立,

上恒成立,

上恒成立,

,则

,即时,函数取最小值,故

上的减函数,

上的值域为

在区间上,恒有

时,上单调递增,

,解得,不满足

时,上是增函数,

,不满足题意;

时,上单调递减,在上单调递增,

,即时,上是增函数,

,解得

,即时,上单调递减,

,解得

,即时,上单调递减,

上单调递增,

,即时,

解得

,即时,

解得

综上,a的取值范围是

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