题目内容
【题目】已知定义在实数集
上的函数,把方程
称为函数
的特征方程,特征方程的两个实根
,
称为
的特征根.
(1)讨论函数的奇偶性,并说明理由;
(2)求表达式;
(3)把函数,
的最大值记作
、最小值记作
,令
,若
恒成立,求
的取值范围.
【答案】(1)当时,函数
为奇函数:当
时,函数
为非奇非偶函数(2)
(3)
【解析】
(1)分和
讨论即可;
(2)将表达式通分,再利用韦达定理代入即可;
(3)先求出在
上的最值,再分析函数的单调性,求出
,然后分离参数,求出参数的范围.
(1)当时,
,
所以,即
为奇函数;
当时,因
,
,
所以,
,
所以不是奇函数也不是偶函数.
(2)由题意,方程的两个实根
、
,
即方程的两个实根为
、
,
,
∴,
,
,
∴
(3)由,则
,
由(2)知方程的两个实根为
、
,
则当时,
恒成立,所以
,恒成立
∴函数在
上是单调递增,
∴,
由恒成立,即
恒成立,
∴恒成立,又
,
,则
,
∴,
故的取值范围为
.
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