Question

16．已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，且满足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列$\left\{{\frac{1}{{{a_n}•{a_{n+1}}}}}\right\}$的前n项和为S_n，令f（n）=$\frac{S_n}{n+16}$（n∈N^*），求f（n）的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式即可得出；
（2）利用“裂项求和”、基本不等式的性质即可得出．

解答 解：（1）由题设知：$\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}•{a_3}=45}\\{{a_1}+{a_4}={a_2}+{a_3}=14}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}=5}\\{{a_3}=9}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{{a_2}=9}\\{{a_3}=5}\end{array}}\right.$，
∵d＞0，∴a₂=5，a₃=9．
∴a_n=4n-3．
（2）∵$\frac{1}{{{a_n}{a_{n+1}}}}=\frac{1}{（4n-3）（4n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{4}[（\frac{1}{1}-\frac{1}{5}）+（\frac{1}{5}-\frac{1}{9}）+…+（\frac{1}{4n-3}-\frac{1}{4n+1}）]=\frac{n}{4n+1}$，
∴$f（n）=\frac{S_n}{n+16}=\frac{{\frac{n}{4n+1}}}{n+16}=\frac{n}{{4{n^2}+65n+16}}=\frac{1}{{4n+\frac{16}{n}+65}}≤\frac{1}{81}$（当n=2时取=）．

点评 本题考查了等差数列与等比数列的通项公式、“裂项求和”、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．