题目内容
【题目】已知集合,其中
,
.如果集合
满足:对于任意的
,都有
,那么称集合
具有性质
.
(Ⅰ)写出一个具有性质的集合
;
(Ⅱ)证明:对任意具有性质的集合
,
;
(Ⅲ)求具有性质的集合
的个数.
【答案】(Ⅰ);(Ⅱ)详见解析;(Ⅲ)
.
【解析】
(Ⅰ);(Ⅱ)利用反证法证明不存在
,使得
;(Ⅲ)设
为使得
的最大正整数,则
.再证明
,集合
中大于2000的元素至多有19个,所以
.再证明
不可能成立.即
成立.再推理得到
可能取的值为981,982,…,1000,故符合条件的集合个数为
.因此,满足条件的集合
的个数为
.
解:(Ⅰ)
(Ⅱ)证明:假设存在,使得
,显然
,取
,则
,由题意
,而
为集合
中元素的最大值,所以,
,矛盾,假设不成立,
所以,不存在,使得
.
(Ⅲ)设为使得
的最大正整数,则
.
若,则存在正整数
,使得
,所以
.
同(Ⅱ)不可能属于集合
.
于是,由题意知
,
所以,,集合
中大于2000的元素至多有19个,所以
.
下面证明不可能成立.
假设,则存在正整数
,使得
,显然
,
所以存在正整数使得
.
而与
为使得
的最大正整数矛盾,所以
不可能成立.即
成立.
当时,对于任意的
满足
显然有
成立.
若,则
,即
,
所以,,其中
均为符合题意的集合.
而可能取的值为981,982,…,1000,故符合条件的集合个数为
.
因此,满足条件的集合的个数为
.
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