题目内容
【题目】在直角坐标系中,过点
作直线
交
轴于A点、交
轴于B点,且P位于AB两点之间.
(1)若,求直线
的方程;
(2)求当取得最小值时直线
的方程;
(3)当面积最小值时的直线方程.
【答案】(1);(2)
;(3)
【解析】
设直线可求出
,
.结合
位于
之间,建立关于
的不等式,可得
.
(1)由的坐标,得出向量
和
坐标,从而将
化为关于
的方程,解出
值,即得直线
的方程;
(2)由向量数量积的坐标运算公式,得出关于
的表达式,再用基本不等式得到
取得最小值时
的斜率
,从而得到直线
的方程.
(3)求出,再利用基本不等式求最小值,从而得到等号成立的条件,即
,由此能求出当
面积最小值时的直线方程.
由题意知,直线的斜率
存在且
,
设,得令
,得
,所以
,
再令,得
,所以
,
∵点位于
两点之间,∴
且
,解得
.
∴,
,
(1)∵,∴
,解得
.
∴直线的方程为
,整理得
.
(2)∵,∴
,
当,即
时,等号成立.
∴当取得最小值时直线
的方程为
,
化为一般式:.
(3)∵,
,
,
∴,
当时,即
时,取等号,
∴当面积最小值时的直线方程为
,即
.
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