题目内容
【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)当时,求
的图象在点
处的切线方程;
(Ⅱ)设函数,讨论函数
的零点个数.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析
【解析】
(Ⅰ)根据导数的几何意义求出斜线的斜率,然后根据点斜式方程可得结果.(Ⅱ)根据函数的单调性和极值、最值得到函数图象的大体形状,在此基础上判断出零点的个数.
(Ⅰ)当时,
,
所以,
所以.
又.
所以函数的图象在点
处的切线方程为
,
即.
(Ⅱ)由题意得,定义域为
,
则.
(i)当时,
对于任意的
恒成立,故
在
上单调递减,
令,则
,
.
又,
所以在
上有唯一零点.
(ii)当时,令
,得
.
所以在
上单调递减,在
上单调递增,
故.
①若,
,函数
无零点;
②若,
,函数
有唯一零点;
③若,
,
令,
则.
令,
则
.
所以函数在
,
上各有一零点,从而函数
有两个零点.
综上可得:当时,函数
没有零点;当
或
时,函数
有唯一零点;当
时,函数
有两个零点.
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