题目内容

椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的左焦点为F,直线x=m与椭圆相交于点A、B,当△FAB的周长最大时,△FAB的面积是______.
设椭圆的右焦点为E.如图:
由椭圆的定义得:△FAB的周长:AB+AF+BF=AB+(2a-AE)+(2a-BE)=4a+AB-AE-BE;
∵AE+BE≥AB;
∴AB-AE-BE≤0,当AB过点E时取等号;
∴AB+AF+BF=4a+AB-AE-BE≤4a;
即直线x=m过椭圆的右焦点E时△FAB的周长最大;
此时△FAB的高为:EF=2.
此时直线x=m=c=1;
把x=1代入椭圆
x2
4
+
y2
3
=1
的方程得:y=±
3
2

∴AB=3.
所以:△FAB的面积等于:S△FAB=
1
2
×3×EF=
1
2
×3×2=3.
故答案为:3.
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