题目内容
设数列{an}的首项a1为常数,且an+1=3n-2an(n∈N+).
(1)证明:{an-
}是等比数列;
(2)若a1=
,{an}中是否存在连续三项成等差数列?若存在,写出这三项,若不存在说明理由.
(3)若{an}是递增数列,求a1的取值范围.
(1)证明:{an-
3n |
5 |
(2)若a1=
3 |
2 |
(3)若{an}是递增数列,求a1的取值范围.
考点:等比关系的确定,数列的函数特性,等差数列的通项公式
专题:计算题,证明题,等差数列与等比数列,不等式的解法及应用
分析:(1)根据等比数列的定义,结合条件,即可得证;
(2)由(1)求出数列{an}的通项公式,再由等差数列的性质,得到方程,求出n,即可判断;
(3)运用数列{an}的通项公式,作差,再由n为偶数和奇数,通过数列的单调性,即可得到范围.
(2)由(1)求出数列{an}的通项公式,再由等差数列的性质,得到方程,求出n,即可判断;
(3)运用数列{an}的通项公式,作差,再由n为偶数和奇数,通过数列的单调性,即可得到范围.
解答:
(1)证明:因为
=
=-2,
所以数列{an-
}是等比数列;
(2)解:{an-
}是公比为-2,首项为a1-
=
的等比数列.
通项公式为an=
+(a1-
)(-2)n-1=
+
•(-2)n-1
若{an}中存在连续三项成等差数列,则必有2an+1=an+an+2,
即2[
+
(-2)n]=
+
(-2)n-1+
+
(-2)n+1
解得n=4,即a4,a5,a6成等差数列.
(3)解:如果an+1>an成立,
即
+(a1-
)(-2)n>
+(a1-
)(-2)n-1对任意自然数均成立.
化简得
•3n>-(a1-
)(-2)n,
当n为偶数时a1>
-
(
)n,
因为p(n)=
-
(
)n是递减数列,
所以p(n)max=p(2)=0,即a1>0;
当n为奇数时,a1<
+
(
)n,
因为q(n)=
+
(
)n是递增数列,
所以q(n)min=q(1)=1,即a1<1;
故a1的取值范围为(0,1).
an+1-
| ||
an-
|
| ||
an-
|
所以数列{an-
3n |
5 |
(2)解:{an-
3n |
5 |
3 |
5 |
9 |
10 |
通项公式为an=
3n |
5 |
3 |
5 |
3n |
5 |
9 |
10 |
若{an}中存在连续三项成等差数列,则必有2an+1=an+an+2,
即2[
3n+1 |
5 |
9 |
10 |
3n |
5 |
9 |
10 |
3n+2 |
5 |
9 |
10 |
解得n=4,即a4,a5,a6成等差数列.
(3)解:如果an+1>an成立,
即
3n+1 |
5 |
3 |
5 |
3n |
5 |
3 |
5 |
化简得
4 |
15 |
3 |
5 |
当n为偶数时a1>
3 |
5 |
4 |
15 |
3 |
2 |
因为p(n)=
3 |
5 |
4 |
15 |
3 |
2 |
所以p(n)max=p(2)=0,即a1>0;
当n为奇数时,a1<
3 |
5 |
4 |
15 |
3 |
2 |
因为q(n)=
3 |
5 |
4 |
15 |
3 |
2 |
所以q(n)min=q(1)=1,即a1<1;
故a1的取值范围为(0,1).
点评:本题考查数列的通项公式及等比数列的证明,考查等差数列的性质和已知数列的单调性,求参数的范围,考查运算能力,属于中档题和易错题.
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