Question

已知函数f（x）=e^x-e^-x，其中e是自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：f（x）是R上的奇函数；
（Ⅱ）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x-m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用,导数的综合应用

分析：本题（Ⅰ）利用函数奇偶性的定义，证明f（-x）=-f（x），判断函数是奇函数，得到本题结论；（Ⅱ）先对不等式mf（x）≤e^-x-m-1进行参变量分离，得到m≤

1-ex

(ex)2+ex-1

，然后利用导函数研究g(x)=

1-ex

(ex)2+ex-1

的最小值，得到本题结论．

解答： 解：（Ⅰ）∵f（x）的定义域为R，
∴f（-x）=e^-x-e^x=-（e^x-e^-x）=-f（x）．
∴f（x）是R上的奇函数．
（Ⅱ）∵x＞0，
∴e^x＞1，
故（e^x）²+e^x-1＞0；
由mf（x）≤e^-x-m-1得m（e^x-e^-x）≤e^-x-m-1，
即m（e^x-e^-x+1）≤e^-x-1
化简得m[（e^x）²+e^x-1]≤1-e^x，
即m≤

1-ex

(ex)2+ex-1

恒成立，
即求g(x)=

1-ex

(ex)2+ex-1

的最小值即可．
令t=e^x，由x＞0，得t＞1，得：
g(t)=

1-t

t2+t-1

；
g′(t)=

t(t-2)

(t2+t-1)2

（t＞1），
令g′（t）=0，解得t=2；
令g′（t）＞0，解得t＞2；
令g′（t）＜0，解得1＜t＜2；
∴g（x）的单调递减区间为（1，2），
g（x）的单调递增区间为（2，+∞），
∴以g（x）的最小值为g(2)=

1-2

22+2-1

=-

1

5

；
综上，所求实数m的取值范围为(-∞，-

1

5

]．

点评：本题考查了函数奇偶性的定义和恒成立问题，本题难度适中，属于中档题．