题目内容

已知顶点在原点O,焦点在x轴上的抛物线过点(3,
6
)

(1)求抛物线的标准方程;
(2)若抛物线与直线y=x-2交于A、B两点,求证:kOA•kOB=-4.
(1)设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则
∵抛物线过点(3,
6
)
,∴6=2p×3,∴p=1,
∴抛物线的标准方程为y2=2x;
(2)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2),直线y=x-2代入y2=2x,整理可得x2-6x+4=0
∴x1+x2=6,x1x2=4,
∴kOA•kOB=
y1y2
x1x2
=
(x1-2)(x2-2)
x1x2
=
x1x2-4(x1+x2)+4
4
=-4.
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