Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，，是的中点，是棱上的点，且.

（Ⅰ）求证：平面底面；

（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).

【解析】试题分析：（1）根据计算可得，由等腰三角形性质得，由线面垂直判定定理得平面，再根据面面垂直判定定理得平面底面；（2）根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，利用方程组解得平面的一个法向量，再根据向量数量积得两平面法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角相等或互补关系确定结果.

试题解析：（Ⅰ）证明：连接，∵四边形是直角梯形，，，为的中点，∴四边形为平行四边形，又∵，∴，∵是边长为2的正三角形，是的中点，∴，，在中，，，有，∴，∵，、平面，∴平面，又∵平面，∴平面底面；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）可知能以为原点，分别以、、为、、轴建立坐标系如图，则，，∵，，，是的中点，∴ ， ，∴ ，又∵，∴，∴，，设平面的一个法向量为，由，即，令，得，又为平面的一个法向量，∴，∴二面角为.

点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.

(1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行.

(2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直.

(3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直.