题目内容
【题目】如图,在四棱锥中,底面
为直角梯形,
,
,
,
,
,
是
的中点,
是棱
上的点,且
.
(Ⅰ)求证:平面底面
;
(Ⅱ)求二面角的大小.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ).
【解析】试题分析:(1)根据计算可得,由等腰三角形性质得
,由线面垂直判定定理得
平面
,再根据面面垂直判定定理得平面
底面
;(2)根据条件建立空间直角坐标系,设立各点坐标,利用方程组解得平面
的一个法向量,再根据向量数量积得两平面法向量夹角,最后根据二面角与法向量夹角相等或互补关系确定结果.
试题解析:(Ⅰ)证明:连接,∵四边形
是直角梯形,
,
,
为
的中点,∴四边形
为平行四边形,又∵
,∴
,∵
是边长为2的正三角形,
是
的中点,∴
,
,在
中,
,
,有
,∴
,∵
,
、
平面
,∴
平面
,又∵
平面
,∴平面
底面
;
(Ⅱ)解:由(Ⅰ)可知能以为原点,分别以
、
、
为
、
、
轴建立坐标系如图,则
,
,∵
,
,
,
是
的中点,∴
,
,∴
,又∵
,∴
,∴
,
,设平面
的一个法向量为
,由
,即
,令
,得
,又
为平面
的一个法向量,∴
,∴二面角
为
.
点睛:垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型.
(1)证明线面、面面平行,需转化为证明线线平行.
(2)证明线面垂直,需转化为证明线线垂直.
(3)证明线线垂直,需转化为证明线面垂直.

练习册系列答案
相关题目