题目内容
【题目】已知点,
分别是椭圆
的长轴端点、短轴端点,
为坐标原点,若
,
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)如果斜率为的直线
交椭圆
于不同的两点
(都不同于点
),线段
的中点为
,设线段
的垂线
的斜率为
,试探求
与
之间的数量关系.
【答案】(1);(2)答案见解析.
【解析】试题分析:(1)根据向量的点积公式和投影得到,进而得到椭圆的方程;(2)联立直线和椭圆得到二次方程,根据韦达定理得到中点坐标,进而得到直线
的斜率为
,线段
的垂线
的斜率为
.
解析:
(1)因为,
所以,因为
,
所以.
所以.
所以所求椭圆的方程为
(2)设直线的方程为
(
,
为常数).
①当时,直线
的方程为
,此时线段
的中点为
在
轴上,所以线段
的垂线
的斜率为0,即
;
②当时,联立
消去
整理,得
.
设点,
,线段
的屮点
,则
,
由韦达定理,得,
,所以
.
所以.
所以.
所以直线的斜率为
.
所以线段的垂线
的斜率为
.故
与
之间的关系是
综上,与
之间的关系是
.
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