题目内容

18.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,F关于原点的对称点为P.过F作x轴的垂线交抛物线于M、N两点.
有下列四个命题:①△PMN必为直角三角形; ②△PMN不一定为直角三角形;③直线PM必与抛物线相切; 
④直线PM不一定与抛物线相切.其中正确的命题是①③,(填序号)

分析 本题考查抛物线的定义和标准方程的有关知识,先由抛物线方程求出M,N的坐标,然后判断△PMN是否为为直角三角形,求出直线PM的方程,然后判断是否相切.

解答 解:抛物线方程为y2=2px(p>0),焦点为F($\frac{p}{2}$,0),则P点坐标为(-$\frac{p}{2}$,0),可求出点M($\frac{p}{2}$,p),N($\frac{p}{2}$,-p),
∴|PF|=$\frac{1}{2}$,|MN|=p,∴∠MPN=90°,故①正确,②不正确;
联立直线PM方程与抛物线方程:$\left\{\begin{array}{l}{y=x+\frac{p}{2}}\\{{y}^{2}=2px}\end{array}\right.$,得x2-px+$\frac{{p}^{2}}{4}$=0,其判别式△=0.
∴直线PM必与抛物线相切,故③正确,④不正确.
综上①③正确.
故答案为:①③.

点评 本题考查抛物线标准方程,考查抛物线的简单性质,解题关键是根据标准方程求出M,N坐标,是中档题.

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