题目内容

13.已知单调递增的等比数列{an}满足:a2+a3+a4=28,且a3+2是a2,a4的等差中项.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若bn=an+(-1)nlog2an,其前n项和为Tn,求T2n-1

分析 (1)根据条件,建立方程组即可求出数列{an}的通项公式;
(2)利用分组求和方法,对n讨论是奇数和偶数,即可得到T2n-1

解答 解:(1)设单调递增的等比数列{an}的公比为q,
∵a3+2是a2,a4的等差中项,
∴2(a3+2)=a2+a4
即 a1q+a1q3-2a1q2=4,
又a2+a3+a4=28,
即a1q+a1q2+a1q3=28,
∴q=$\frac{1}{2}$(舍去)或q=2,
∴a1=2,
∴an=2n
(2)由(1)知an=2n
∴bn=an+(-1)nlog2an=2n+(-1)n•n,
当n为奇数时,前n项和为Tn=(2+4+…+2n)+(-1+2-3+4+…-n)
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$+$\frac{n-1}{2}$-n,
当n为偶数时,前n项和为Tn=(2+4+…+2n)+(-1+2-3+4+…+n)
=$\frac{2(1-{2}^{n})}{1-2}$+$\frac{n}{2}$,
即有T2n-1=$\frac{2(1-{2}^{2n-1})}{1-2}$+$\frac{2n-1-1}{2}$-(2n-1)
=22n-n.

点评 本题主要考查数列的通项公式和前n项和的计算,要求熟练掌握分组求和的方法进行求和,考查学生的计算能力.

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