Question

【题目】某企业拟生产一种如图所示的圆柱形易拉罐（上下底面及侧面的厚度不计），易拉罐的体积为,设圆柱的高度为，底面半径为，且,假设该易拉罐的制造费用仅与其表面积有关．已知易拉罐侧面制造费用为元，易拉罐上下底面的制造费用均为元为常数)．

（1）写出易拉罐的制造费用(元)关于的函数表达式，并求其定义域；

（2）求易拉罐制造费用最低时的值．

Answer 1

【答案】（1），；（2）当时， ，易拉罐的制造费用最低，当时，，易拉罐的制造费用最低.

【解析】

（1）根据体积的值，得出与的关系，然后将表面积公式中的转化为，再根据等条件得出定义域；

（2）利用导数求出函数的单调性，进而求出最值.

解：（1）因为体积为

故，即，

易拉罐的侧面积为，

易拉罐的上下两底面的面积为，

所以,

因为，

所以有，解得，

故，

易拉罐的制造费用为；

（2），

令，解得，

若，即，此时

当，函数单调递减，

当，函数单调递增，

故当，此时函数取得最小值，即易拉罐的制造费用最低；

若，即，此时，

当时，函数单调递减，

故当，此时函数取得最小值，即易拉罐的制造费用最低；

综上：当时， ，易拉罐的制造费用最低，

当时，，易拉罐的制造费用最低.