Question

【题目】设椭圆的左焦点为，下顶点为，上顶点为，是等边三角形.

（Ⅰ）求椭圆的离心率；

（Ⅱ）设直线，过点且斜率为的直线与椭圆交于点 异于点，线段的垂直平分线与直线交于点，与直线交于点，若.

(ⅰ)求的值；

(ⅱ)已知点，点在椭圆上，若四边形为平行四边形，求椭圆的方程.

Answer 1

【答案】(I)；(II)(ⅰ)1，（ii）

【解析】

（Ⅰ）根据几何条件得，再求离心率，（Ⅱ）(ⅰ) 设直线方程，解得A,C坐标，即得Q坐标，根据直线交点得P点坐标，根据弦长公式得 ，代入条件解得的值；(ⅱ)先用b表示A,C坐标，根据平行四边形得N坐标，代入椭圆方程得结果.

(I) 由题意可知，， ..

（II）(ⅰ)

设椭圆方程为,

联立得解得：

因为为中点， ，

因为所在的直线方程为

令 解得

=

，解得或(舍)

直线的斜率为1.

（ii）,

设四边形为平行四边形，

,

即 ,

又点在椭圆上，

解得，该椭圆方程为：