Question

【题目】已知椭圆的离心率为，椭圆C上任意一点到椭圆两个焦点的距离之和为6.

（1）求椭圆C的方程；

（2）设直线上与椭圆C交于A，B两点，点，且，求直线l的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或．

【解析】

（1）根据椭圆的定义首先求得椭圆的短半轴，进而根据离心率求得椭圆的半焦距，根，和的关系求得，则椭圆方程可得．

（2）把直线方程与椭圆方程联立消去，根据直线与椭圆的两个交点判断出判别式大于0，求得的范围，设，的坐标，则根据韦达定理求得，的表达式，根据直线方程求得的表达式，进而可表示出中点的坐标，根据推断出，可知，求得，则直线方程可求得．

（1）由已知，，

解得，，

所以，

所以椭圆的方程为．

（2）由得，，

直线与椭圆有两个不同的交点，所以△，

解得．

设，，，，

则，，

计算，

所以，，中点坐标为，

因为，所以，，

所以，

解得，

经检验，符合题意，

所以直线的方程为或．