题目内容
【题目】已知函数.
(1)当时,求
的图象在
处的切线方程;
(2)当时,求证:
在
上有唯一零点.
【答案】(1);(2)证明见解析
【解析】
(1)当时,函数
,分别求出
及
的值,结合导数的几何意义,可求出
的图象在
处的切线方程;
(2)对函数求导,判断单调性可知
在
上单调递减,在
上单调递增,进而可知
,然后构造函数
,进而可证明
,即
,进而由
,证明
,又
,结合单调性可知
在
上有唯一零点.
(1)当时,函数
,定义域为
.
则,则
,
.
故的图象在
处的切线方程为
,即
.
(2)证明:.
因为,令
,得
;令
,得
.
又,
在
上单调递减,在
上单调递增.
所以.
令.
显然在
上单调递减.
又.
所以,即
.
.
令,
则.
令,则
,所以
在
上单调递增,
则,所以
,
,故
,
所以在
上单调递增,
,所以
.
又,结合单调性可知
在
上有唯一零点,命题得证.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
练习册系列答案
相关题目
【题目】空气质量指数AQI是反映空气质量状况的指数,AQI指数值越小,表明空气质量越好,其对应关系如下表:
AQI指数值 | 0~50 | 51~100 | 101~150 | 151~200 | 201~300 | >300 |
空气质量 | 优 | 良 | 轻度污染 | 中度污染 | 重度污染 | 严重污染 |
下图是某市10月1日—20日AQI指数变化趋势:
下列叙述错误的是
A. 这20天中AQI指数值的中位数略高于100
B. 这20天中的中度污染及以上的天数占
C. 该市10月的前半个月的空气质量越来越好
D. 总体来说,该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好