Question

8．已知圆C过点（0，2）且与直线x+$\sqrt{3}$y-4=0切于点$（1，\sqrt{3}）$．
（1）求圆C的方程；
（2）若P，Q为圆C与y轴的交点（P在Q上），过点T（0，4）的直线l交圆C于M，N两点，若M，N都不与P，Q重合时，是否存在定直线m，使得直线PN与QM的交点G恒在直线m上．若存在，求出直线m的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据圆的性质，结合条件建立方程关系即可求圆C的方程；
（2）联立直线和圆的方程，利用消参法进行转化即可．

解答 解：（1）设圆心C（a，b），
由题有$\left\{{\begin{array}{l}{\frac{{b-\sqrt{3}}}{a-1}=\sqrt{3}}\\{\sqrt{{{（a-1）}^2}+{{（b-\sqrt{3}）}^2}}=\sqrt{{{（a-0）}^2}+{{（b-2）}^2}}}\end{array}}\right.$，得a=b=0，
所以，圆心为（0，0），半径为2，
故圆的方程为x²+y²=4
（2）根据圆的对称性，点G落在与y轴垂直的直线上
令N（-2，0），则直线$TN：\frac{x}{-2}+\frac{y}{4}=1?y=2x+4$与圆C：x²+y²=4联立得：5x²+16x+12=0，
∴${x_M}=-\frac{6}{5}$，∴$M（-\frac{6}{5}，\frac{8}{5}）$，QM：y=-3x-2
所以直线PN：x-y+2=0与QM的交点G（-1，1），
猜想点G落在定直线y=1上．
下证：$\left\{\begin{array}{l}y=kx+4\\{x^2}+{y^2}=4\end{array}\right.$得：（1+k²）x²+8kx+12=0$\left\{\begin{array}{l}△={（8k）^2}-48（1+{k^2}）＞0\\{x_1}+{x_2}=\frac{-8k}{{1+{k^2}}}\\{x_1}{x_2}=\frac{12}{{1+{k^2}}}\end{array}\right.$
直线PN：$\frac{y-2}{x}=\frac{{{y_1}-2}}{x_1}$，直线QM：$\frac{y+2}{x}=\frac{{{y_2}+2}}{x_2}$
消去x得：$\frac{y-2}{y+2}=\frac{{（{y_1}-2）{x_2}}}{{（{y_2}+2）{x_1}}}$
要证：G落在定直线y=1上，只需证：$\frac{1-2}{1+2}=\frac{{（{y_1}-2）{x_2}}}{{（{y_2}+2）{x_1}}}$
即证：$\frac{-1}{3}=\frac{{（k{x_1}+2）{x_2}}}{{（k{x_2}+6）{x_1}}}$
即证：-kx₁x₂-6x₁=3kx₁x₂+6x₂
即证：4kx₁x₂+6（x₁+x₂）=0
即证：$4k\frac{12}{{1+{k^2}}}-6\frac{8k}{{1+{k^2}}}=0$
显然成立．
所以直线PN与QM的交点在一条定直线上．

点评 本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据条件求出圆的标准方程，以及利用直线和圆进行联立是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．