Question

16．已知函数f（x）=log₂（x+1），g（x）=log₂$\frac{1}{1-x}$，记F（x）=2f（x）+g（x）
（Ⅰ）求函数F（x）的定义域D及其零点；
（Ⅱ）若关于x的方程F（x）-log₂m=0在区间[0，1）内有解，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）化简函数的解析式，列出不等式组即可求解函数的定义域，函数的零点利用方程的根求解即可．
（2）利用零点定理以及构造函数通过二次函数的性质列出不等式组，即可求出结果．

解答 解：（1）、函数有意义，可得：$\left\{\begin{array}{l}x+1＞0\\ 1-x＞0\end{array}\right.$，所以函数的定义域D=（-1，1），
$F（x）=2{log_2}（x+1）-{log_2}（1-x）={log_2}\frac{{{{（x+1）}^2}}}{1-x}$，
$F（x）=0⇒\frac{{{{（1+x）}^2}}}{1-x}=1⇒{x^2}+3x=0⇒x=0$
函数的零点为0．
（2）、根据题意$m=\frac{{{{（1+x）}^2}}}{1-x}，x∈[0，1）$，等价为x²+（m+2）x+1-m=0在[0，1）有解．
设h（x）=x²+（m+2）x+1-m，
①h（0）h（1）≤0⇒（1-m）（1+m+2+1-m）≤0⇒m≥1，
②$\left\{\begin{array}{l}△≥0\\ 0＜-\frac{m+2}{2}＜1\\ h（0）＞0\\ h（1）＞0\end{array}\right.⇒m∈ϕ$，∴m≥1．

点评 本题考查函数与方程的综合应用，函数的零点，以及根的分布，二次函数的性质的应用，考查计算能力．