Question

2．已知，a，b，c分别是△ABC中角A，B，C的对边，若a，b，c成等比数列，求证：$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{1}{sinB}$．

Answer 1

分析 将所求的关系式$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$切化弦，再结合a、b、c成等比数列，利用正弦定理化角的弦函数即可得证．

解答 证明：因为a，b，c成等比数列，所以b²=ac
由正弦定理得sin²B=sinAsinC，
所以$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanC}$=$\frac{cosA}{sinA}+\frac{cosC}{sinC}$=$\frac{cosAsinC+cosCsinA}{sinAsinC}$=$\frac{sin（A+C）}{si{n}^{2}B}=\frac{sinB}{si{n}^{2}B}=\frac{1}{sinB}$．

点评 本题考查等比数列、正弦定理应用以及三角形中，三角函数恒等式的证明．