题目内容
【题目】如图,在四棱锥中
,且
和
分别是棱
和
的中点.
(Ⅰ)求证:;
(Ⅱ)求直线与平面
所成的角的正弦值.
【答案】(Ⅰ)见证明;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)先证明四边形为矩形,得到
,然后又可证得
平面
,再根据
得到
平面
,于是
,进而得到
,所以有
平面
,于是可得所证结论成立.(Ⅱ)建立空间直角坐标系,根据题中条件得到相关点的坐标,求出平面
的法向量和直线
的方向向量
,根据两向量夹角的余弦值可求出线面角的正弦值.
(Ⅰ)∵为
中点,
,
∴.
又,
∴四边形为平行四边形.
∵为
中点,
∴,
∴四边形为矩形,
∴.
由得
,
又,
∴平面
.
∵,
∴平面
.
又平面
,
∴.
∵,
∴.
又,
∴平面
.
∵平面
,
∴.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
.
以为原点,
为
轴,
为
轴,平面
内过点
且与
的垂线为
轴建立空间直角坐标系
,如图所示.
∵,
∴.
又,
∴.
∴点到
轴的距离为
.
∴同时知
.
又,
∴.
∴.
设平面的一个法向量为
,
由得
令则
.
又,
设直线与平面
所成的角为
.
则.
即直线与平面
所成的角的正弦值为
.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
【题目】某品牌经销商在一广场随机采访男性和女性用户各50名,其中每天玩微信超过6小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有95%的把握认为“微信控”与“性别”有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5人,求所抽取的5人中“微信控”和“非微信控”的人数;
(3)从(2)中抽取的5位女性中,再随机抽取3人赠送礼品,试求抽取3人中恰有2人位“微信控”的概率.
参考公式: ,其中
.
参考数据:
0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | |
0.455 | 0.708 | 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 |
【题目】为了进一步激发同学们的学习热情,某班级建立了数学英语两个学习兴趣小组,两组的人数如下表所示:
组别 性别 | 数学 | 英语 |
男 | 5 | 1 |
女 | 3 | 3 |
现采用分层抽样的方法(层内采用简单随机抽样)从两组中共抽取3名同学进行测试.
(1)求从数学组抽取的同学中至少有1名女同学的概率;
(2)记ξ为抽取的3名同学中男同学的人数,求随机变量ξ的分布列和数学期望.